微分方程式最適化の \( H^{-1} \) までの定義

微分方程式最適化について調べているが、記号が多くなってきて分かりづらくなってきたので、一部をまとめておく。

• \(\Omega \) : \(R^n\) の開集合
• \(u : \Omega \to R \) の関数
• supp(\(u\)) : \(\{x \in \Omega : u(x) \ne 0 \} \)
• \(C_c^{\infty} (\Omega) \) : \( \{ u \in C^{\infty} (\bar{\Omega}) : \mbox{supp}(u) \subset \Omega \mbox{がコンパクト} \} \)
• \( W^{k,2} (\Omega) \) : \( \{ u \in L^p (\Omega) : u \mbox{は} |\alpha| \le k \mbox{となるすべての} \alpha \mbox{で弱微分} D^{\alpha} u \in L^p (\Omega) \mbox{を持つ} \} \) この空間は Sobolev 空間と呼ばれている
• \( W_0^{k,2} (\Omega) \) : \( C_c^{\infty} \) の \( W^{k,2} (\Omega) \) における closure
• \( H_0^1 (\Omega) \) : \( W_0^{k,2} (\Omega) \) の alias
• \( H^{-1} \) : \( H_0^1 (\Omega) \) の双対空間

大まかなイメージでいうと「\( H_0^1 (\Omega) \) が１階微分できる空間」というあたりか。