PDEつき最適化問題の最適性必要条件のメモ

ポイントとなるところだと思うので、メモしておく。

\( \mbox{min:} \ J(y,u) \ \mbox{s.t} \ e(y,u) = 0, u \in U_{ad} \)
という最適化問題の場合に、\( (\bar{y}, \bar{u}) \) が最適解なら、あるラグランジュ乗数 \( \bar{p} \) が存在して、以下の４つを満たす。

1. \(e(\bar{y}, \bar{u}) = 0 \)
2. \(e_y(\bar{y}, \bar{u})^* \bar{p} = -J_y(\bar{y}, \bar{u}) \)
3. \( \bar{u} \in U_{ad} \)
4. \( \langle J_u(\bar{y}, \bar{u}) + e_u(\bar{y}, \bar{u})^* \bar{p}, u - \bar{u} \rangle \ge 0 \ \mbox{for} \ \forall u \in U_{ad} \)