固有値の続き

まとまった時間が取れない中で、論文読みの続きをしているが、いままでよく分からなかったところなどが書かれていて、今後の計算に利用できそうなところが多い。

特に、固有値のルシャンドル変換が 0 と ∞のいずれかのみをとる、というのはあまり知らなかったが、利用できそうな性質である。

この論文の微分は方向微分になっていて、かなり一般的な枠組みなので、自分の計算ではもっと効率的にできる可能性もあり、そのあたりも検討したい。

今日の作業内容：論文読み 2h
今日のランチ：ちゅらさん　アジのしまに
明日の予測作業時間：4h

固有値微分の論文読み

この前から読んでいる固有値の微分の論文であるが、かなり勉強になる。
そもそも、行列Xを引数とする関数として固有値 lambda(X) を見た場合、lambda(X)は全微分不可能である。
これは、方向微分の値が異なるためである。
この流れに則して、劣微分やその一般化などの定義も含まれており、微分の勉強になる。

以前に自分で導出した微分が、この論文の微分と一致するのかをチェックする必要があるが、実際の計算で微分を入れるときには、こういった知識が役に立ちそうだ。

今日の作業内容：論文読み1h
今日のランチ：食堂　マーボー定食
明日の予測作業時間：4h

固有値の論文、途中まで

今日はあまり時間がとれなかったが、固有値の微分の論文を6ページ程度読んだ。
（別の論文も目を通したが、こっちのほうが詳しいようなので、こっちに絞り込むことにした。）

Intro のところに Overton の名前があり、やはり固有値の微分と SDP は関係性があるのだな、と思う。
もう少し時間を取って読み進めたいところだ。

今日の作業内容：論文読み 2h
今日のランチ：ジョーナン シナモンロール, チキンナゲットパン, お豆腐サンドイッチ
明日の予測作業時間：4h

固有値の感度分析

昨日も調べていた固有値の微分だが、これだけ重要な内容だから代数的に確認しておこうと思い、maxima, mathematica と使ってみた。

結果、solve ではうまくできなかったが、そのあと、mathematica には Eigenvalues, Eigenvectors というそのままのものがあり、これを使うことで2x2の行列を代数的に処理できることが分かった。

ただ、固有値の微分というこれだけ重要な内容で既存研究がないのは不思議だと思って、もう一度調べてみたところ、どうやら「固有値の感度分析」というような名前で研究が進んでいるらしい。
昨日問題になっていた固有値の重複度があるときについての論文も見つかったので、これを読み進めて行くことにする。

今日の作業内容：固有値の計算4h
今日のランチ：らく 日替わりのお刺身
明日の予測作業時間：3h

固有値の微分

この前から気になっていた固有値の微分だが、固有値に重複度がないときには計算する方法が見つかった。
ただ、思っていたよりも精度が出ない様子だ。
Matlab で検算用のプログラムを組んでみたが、多倍長計算の vpa を用いても誤差が残りやすい。
検算の方法が単純に (f(x+h)-f(x))/h なので、小さいhになるとこれにも誤差が入りやすいのだが、1.0e-4 以下の数値のところで2倍3倍程度でずれるときがあるようだ。
ただ、理論的に外れているのであれば、2倍3倍では済まない誤差が入るはずなので理論的にはほぼ正しいと考えている。
ちなみに、複数の固有値が似たような値になると、やはり微分の値もずれが大きくなる。

また、今のプログラムは X が n times n のときに O(n^12) のアルゴリズムとなっている。
これはかなり重い計算であって、量子化学の SDP なみに重い。

あと、固有値に重複度があるときは、問題が極端に難しくなる。
固有値自体は連続であるが、固有ベクトルは固有空間を張る基底であれば任意であるので、そのあたりをどう処理するかが次の課題である。

今日の作業内容：固有値微分の確認 5h
今日のランチ：味庵　油林鶏
明日の予測作業時間：4h

Lubuntu 11.10 をダウンロード中

日本時間だと今日にリリースされた Lubuntu 11.10 だが、どうなっているかを試してみようと思い、ダウンロードをしている。

ダウンロード元は
http://cdimages.ubuntu.com/lubuntu/releases/11.10/release/lubuntu-11.10-desktop-i386.iso
であるが、これのダウンロードにかなりの時間がかかっている。
全体で５，６時間程度かかる様子だ。
やはり、リリースされたばかりで ubuntu.com が混雑しているのかもしれない。


あと、昨日気になっていた固有値の微分は、2x2行列で直接固有値を代数的に表現してやってみたが、これだけでも複雑だった。
計算自体は高校生でもできるのだが、それを3x3以上に一般化する法則性のようなものが見えてこない。
しかも、5x5以上の大きさになると、5次多項式の解を求めることになり、explicit に固有値を表現して微分する、ということができない。

ただ、今やっていることは固有値の微分そのものではないので、他にもいろいろと検討してみたい。

今日の作業内容：固有値微分 3h
今日のランチ：らく 鶏照焼定食
明日の予測作業時間：4h

固有値を微分

調べ物をしていて面白いことに気がついたが、

"固有値を微分"

として google で検索すると全くヒットしない。

固有値　微分

だと、微分方程式の関係のページが大量にヒットするが、固有値を微分する、というのは日本語にはそれほどないらしい。
固有値と微分という高校数学に出てくる組合せであるにも関わらず、これだけ研究が見当たらないというのはなかなかに興味深いことだ。

今日の作業内容：行列下調べ 2h
今日のランチ：つかさ　カンパチまかない丼
明日の予測作業時間：4h