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SDPAの論文の校正を早めるために、査読論文のほうをできるだけ早く片付けることにしたが、これがやはり時間がかかった。
論文の内容が極めて難しい、というわけではないのだが、証明の一部が間違っていたりして、どうしたら証明を完成できるかを考えるのに時間がかかった。
ただ、証明の仕方を勉強する、という意味では、手ごろな教材でもあった。
とにかく読み終わったので、これをレポートにまとめておくことにしよう。
今日の作業内容：アブストラクト作成 1h + 論文査読 5h
今日のランチ：鶏こまち ハンバーグ丼
明日の予測作業時間：3h
2011年1月20日木曜日
最小長楕円は最小面積楕円か？
たとえば、(x,y) 平面で原点を中心として(x0,y0) を通る楕円を考える。
このとき、一周の長さが最小の楕円と面積が最小の楕円は一致するのか？
これが意外と難しい。
たとえば、x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 という楕円は面積は πab となるが、一周の長さを初等関数で表すことができない。
さらに一般に、n 次元空間で考えたときに、体積は楕円を決定する正定値行列の行列式を介して計算できるが、表面積については意外と解からない。
時間があれば、また調べてみることにしよう。
今日の作業内容：数値実験データ準備 2h + 論文査読 1.5h
今日のランチ： らく 焼魚定食
明日の予測作業時間： 5h
このとき、一周の長さが最小の楕円と面積が最小の楕円は一致するのか？
これが意外と難しい。
たとえば、x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 という楕円は面積は πab となるが、一周の長さを初等関数で表すことができない。
さらに一般に、n 次元空間で考えたときに、体積は楕円を決定する正定値行列の行列式を介して計算できるが、表面積については意外と解からない。
時間があれば、また調べてみることにしよう。
今日の作業内容：数値実験データ準備 2h + 論文査読 1.5h
今日のランチ： らく 焼魚定食
明日の予測作業時間： 5h
2011年1月19日水曜日
論文校正の方向性をまとめる
数値実験は、まだ終わらないので、その間に論文の校正のポイントをリストアップ。
やはり、きちんと比較ができるように、改良ポイントがストレートにわかる問題をいくつか解くようにしたほうがよさそうである。
あとは、意外と細かい事務処理がたまりつつあるので、そちらを処理しておいた。
今日の作業内容：方向性まとめ(3h)
今日のランチ：食堂 ハンバーグランチ
明日の予測作業時間：3h
やはり、きちんと比較ができるように、改良ポイントがストレートにわかる問題をいくつか解くようにしたほうがよさそうである。
あとは、意外と細かい事務処理がたまりつつあるので、そちらを処理しておいた。
今日の作業内容：方向性まとめ(3h)
今日のランチ：食堂 ハンバーグランチ
明日の予測作業時間：3h
2011年1月18日火曜日
2011年1月17日月曜日
双対定理と数値的安定性
SDP の内点法では、一般的に Slater の条件を仮定していて、これによって双対定理が成り立っている。
しかし、duality gap が０になることは、もっと弱い条件でも証明できる。
この証明の方法を利用すると数値的に安定するのではないか？と思ったが、うまくいかないようである。
たとえば、graph partition problem は主問題側に実行可能解が存在しない典型的な例である。
これに証明の方法に沿って、最適解の集合を compact にする redundant な制約をいれてみたが、SDPA, SeDuMi で解いても数値精度はそれほど向上しない。
やはり、数値的安定性は難しい問題である。
今日の作業内容：数値的安定性チェック
今日のランチ：四川弁当 豚の角煮
明日の予測作業時間：4h
しかし、duality gap が０になることは、もっと弱い条件でも証明できる。
この証明の方法を利用すると数値的に安定するのではないか？と思ったが、うまくいかないようである。
たとえば、graph partition problem は主問題側に実行可能解が存在しない典型的な例である。
これに証明の方法に沿って、最適解の集合を compact にする redundant な制約をいれてみたが、SDPA, SeDuMi で解いても数値精度はそれほど向上しない。
やはり、数値的安定性は難しい問題である。
今日の作業内容：数値的安定性チェック
今日のランチ：四川弁当 豚の角煮
明日の予測作業時間：4h
2011年1月14日金曜日
gpp と sedumi
sedumi はSDPAと比較して数値的に安定している、といわれているが、最近実験してみると gpp の場合にはそうでもないことが解かってきた。
gpp の場合、primal 側に実行可能内点は存在しないが、強双対性定理が成り立つため主問題と双対問題の最適値は必ず一致する。(Slater の条件以外にも強双対定理が成り立つ条件があり、gpp では行列のサイズが偶数のときにそれが成り立つ。[偶数のときは簡単に示せるが、奇数だと簡単にはわからない])
おそらく、homogeneous が影響しているのだろうと思われるが、これについては調べる必要があるのかもしれない。
qap の場合についても似たような現象があるのか調べることにしたいが、gpp の数値実験は、あと２週間程度かかってしまうかもしれない。
今日の作業内容：数値実験確認など
今日のランチ：鶏こまち 鶏せいろ蒸し
明日の予測作業時間：5h
gpp の場合、primal 側に実行可能内点は存在しないが、強双対性定理が成り立つため主問題と双対問題の最適値は必ず一致する。(Slater の条件以外にも強双対定理が成り立つ条件があり、gpp では行列のサイズが偶数のときにそれが成り立つ。[偶数のときは簡単に示せるが、奇数だと簡単にはわからない])
おそらく、homogeneous が影響しているのだろうと思われるが、これについては調べる必要があるのかもしれない。
qap の場合についても似たような現象があるのか調べることにしたいが、gpp の数値実験は、あと２週間程度かかってしまうかもしれない。
今日の作業内容：数値実験確認など
今日のランチ：鶏こまち 鶏せいろ蒸し
明日の予測作業時間：5h
2011年1月13日木曜日
Wolkowicz の論文からの数値実験、やりなおし
Wolkowicz の論文にしたがって問題を生成していた数値実験だが、必要な問題を生成していない、ということが解かったので、もう一度生成しなおした。
ただ、前回の１週間ぐらいかけての数値実験により、ある程度絞りこみを行ってあるので、実質的には 1/100 程度の問題数となっている。
予備的な部分もある程度確認したので、いま行っている gpp, qap の数値実験が終了したら、こちらの実験に移ることにする。
今日の作業内容：数値実験生成しなおし
今日のランチ：つかさ ブリの唐揚げ
明日の予測作業時間：4h
ただ、前回の１週間ぐらいかけての数値実験により、ある程度絞りこみを行ってあるので、実質的には 1/100 程度の問題数となっている。
予備的な部分もある程度確認したので、いま行っている gpp, qap の数値実験が終了したら、こちらの実験に移ることにする。
今日の作業内容：数値実験生成しなおし
今日のランチ：つかさ ブリの唐揚げ
明日の予測作業時間：4h
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